sábado, 16 de octubre de 2010

Simetrías

Simetrías


Una secuencia de números: 1  1  2  3  5  8   13   21   llamada de Fibonacci, es la que se obtiene cada número sumando los dos anteriores, esta relación entre los números aparece por doquier en la naturaleza, en los pétalos de una flor, en las conchas de los moluscos y caracoles, en espirales de crecimiento exponencial, en el crecimiento de las hojas a través de el tallo de una planta, etc. Es una serie que se tiene en la suma de los dos últimos números, empezamos por el uno, lo repetimos, y tenemos que su suma es dos, sumamos estos dos últimos, 2 + 1 igual a tres, volvemos a sumar los dos últimos, 3 + 2 igual a cinco, y así sucesivamente.
Esta relación entre cada par de números que escojamos de la serie aparece continuamente en la naturaleza, en los tallos de ciertas plantas, en los pétalos de las flores, en una estrella de mar, en una galaxia espiral, detrás de la sucesión se esconde otro número, un número áureo y es aquel que sintetiza la belleza de lo que nos rodea, un número cuyo valor es 1,618033, es el llamado número de oro, además es el resultado de dividir dos números cualesquiera de la serie anterior, cuanto más altos sean los números de la serie que escojamos, más nos aproximamos a ese número de oro.
Muchas medidas de la naturaleza guardan esa relación, por ejemplo nuestra altura dividido entre la distancia del suelo hasta el ombligo da como cociente el número de oro, el ángulo áureo sale al representar estos dos segmentos en una circunferencia:  describe el orden de las hojas de una palmera, de las pipas de un girasol, de las escamas de una piña, del cociente entre los lados de la espiral del agua que se vierte por el desagüe del lavabo, etc.
Nuestro mundo es pura geometría a todas las escalas, es el lenguaje matemático del universo, de la belleza.
La simetría es el lenguaje de la naturaleza, el abejorro del jardín puede distinguir las formas simétricas de las flores y es atraído por ellas y es más probable que tengan alimento las flores más simétricas, y estas son las que propagan mejor el polen, estas flores que son más simétricas atraen mejor a las abejas. Las  personas también son atraídas por rostros más simétricos, un rostro simétrico es un detalle que nos da información acerca de un buen ADN y de un buen proceso de desarrollo, lo que comunica que somos una buena pareja si tenemos unas facciones simétricas.
Hay simetría en las rocas, en los objetos naturales, en el universo, la simetría es eficaz, una pompa de jabón es esférica, es eficaz, tiene un bajo consumo energético, la esfera es el cuerpo más simétrico, sirve para compactar objetos y darles fuerza, un cráneo tiende a ser esférico para ser más resistente a los golpes. Los diamantes son resistentes por que el carbono está dispuesto en forma de tetraedro, y esa simetría es enormemente resistente ya que el tetraedro regular tiene un amplio número de simetrías. Los virus son simétricos para una mejor replicación, el virus puede realizar muchas copias de sí mismo y la simetría se lo facilita.
Los diagramas son estructuras con organizaciones casi siempre simétricas, son elementos que condensan ideas científicas, por ejemplo el diagrama de Copérnico sobre el sistema heliocéntrico, el sol en el centro del universo fue una idea revolucionaria, Copérnico simplemente trasladó la idea con un diagrama muy simple, demostrando que los hombres no son el centro del universo, el diagrama del principio del libro lleno de fórmulas lo resume todo lo que es el sistema del universo descubierto por Nicolás Copérnico.
Un diagrama plasma una idea, ello sirve para descubrir los patrones de un mundo aparentemente caótico, el orden dentro del caos, las imágenes que nos muestran los diagramas trascienden las culturas, son un lenguaje universal que se puede entender en cualquier lado del universo.
Un número primo es un número indivisible, todos los números se forman multiplicando los primos entre sí, 3 × 5 × 7 es igual a 105. Esto es un patrón, aunque no conocemos una fórmula que nos facilite obtener cualquier número primo.
Un número primo es aquel que al dividirlo por otro da un número fraccionario, excepto si lo divides por un número igual o por el uno.
Los primos son a los números como los átomos a la materia, al igual que cualquier cosa se puede dividir en átomos, cualquier número se puede dividir en números primos.
No existe una fórmula matemática para saber cuál será el siguiente número primo en una serie. No existe una regla como la serie de Fibonacci, aunque sabemos que existen infinitos números primos, Euclides lo demostró.
Las matemáticas consisten en la búsqueda de patrones, seguramente hay algún patrón en los números primos, pero a fecha de hoy es un misterio. Hay patrones energéticos en los átomos grandes como los del uranio, que comparten propiedades con los patrones de los números primos, es un patrón marcado que no puede ser una coincidencia, las matemáticas de la física cuántica puede que nos hagan descubrir el secreto de los números primos. Ello podría tener consecuencias devastadoras para Internet, para la criptografía de Internet, ya que algunas propiedades de los números primos encriptan claves de las tarjetas.
La palabra simetría proviene del griego y significa mensurado, adecuado, proporcionado, de proporción apropiada, de medida conveniente también en el momento oportuno, e indica la posición que ocupan las partes de un todo entre sí. La simetría está dada por la relación bella de una parte como de las partes con el todo. Su expresión manifiesta se encuentra en la repetición regular de motivos y circunstancias similares o iguales, parecidas o afines. La simetría provee la base natural para un ordenamiento sistemático de la variedad de todas las formas. Para evidenciar la simetría se utilizan operaciones de superposición, por medio de estas operaciones o movimientos, las cosas cuya simetría se desea analizar se superponen consigo mismas mediante cambios de posición. Para el estudio de la simetría se utiliza en forma análoga al álgebra, los recursos de las matemáticas como la teoría de grupos, de acuerdo con sus métodos la simetría estructura y clasifica la variedad de posibles formas efectivas teniendo en cuenta su clase y cantidad, la teoría de grupos de transformaciones busca invariantes o elementos invariables dentro de las transformaciones, son patrones que definen la estructura del grupo.
Los verdaderos órganos de simetría son aquellas figuras geométricas que producen operaciones de superposición, por ejemplo en el octavo no regular, la recta perpendicular a un plano que pasa por el centro de la figura es un órgano de simetría, eje de rotación de orden ocho denotado con el símbolo D8.
Existen numerosas operaciones de superposición y composición que estructuran las simetrías, por ejemplo, la identidad es la representación invariable de un objeto sobre sí mismo, con objetos que se transforman en sí mismo, la traslación es un corrimiento simple bajo una dirección dada en línea recta, la rotación es el giro de un cuerpo alrededor de un punto si es en el plano y un eje si es en el espacio, la reflexión puede ser central o axial dependiendo de si el objeto mantiene sus distancias en cada uno de sus puntos respecto a un centro o respecto a un eje. Existe una reflexión especular en el espacio respecto un plano. Una simetría radial es aquella que se engendra al girar un elemento en torno a un centro. Una rotación por traslación es aquella que engendra un punto de una hélice, una recta acoplada a ese punto genera un helizoide. Podemos componer todos estos elementos y principios geométricos obteniendo nuevas simetrías, por ejemplo una reflexión +1 traslación, un giro +1 traslación, una simetría +1 giro, etc.


  





Simetría central

Mover los puntos ABCD para ver los casos distintos y particulares.





















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Simetría central: 2 puntos A-A’ son simétricos respecto a un 3º punto O cuando al trazar una recta que pasa por los 3 se tiene OA= OA’. Un ejemplo práctico de simetrías es el que se produce en los espejos.

Simetría axial - GeoGebra Hoja Dinámica

Simetría axial

Mover los puntos ABCDE para ver los casos distintos y particulares.




















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Simetrías:
La simetría axial transforma un punto en otro punto respecto a una recta llamada eje de manera que el segmento que une los dos puntos simétricos es perpendicular al mismo, y ambos puntos están a la misma distancia del eje de simetría. La simetría es un desplazamiento inverso en la que todos los puntos del eje son invariantes.
La simetría central transforma un punto en otro punto respecto a un centro fijo, de manera que la distancia de ese punto al centro es igual que la distancia del centro al simétrico de ese punto.

Producto de simetrías axiales: el producto de dos simetrías axiales respecto a ejes paralelos es una traslación del primer elemento al que se aplica la primera simetría. Si se aplica un producto de simetrías axiales en el que se cortan los ejes de simetría, tenemos un giro cuyo centro es el punto de corte de ambos ejes de simetría, siendo la amplitud o ángulo de ese giro el doble del ángulo entre ambos ejes.
La simétrica central de una recta m es siempre paralela a ella: m'.
Para trazar la simétrica central de una figura, basta con unir cada punto de ella: A, con el centro de simetría O mediante una recta y situar sobre la misma a igual distancia su simétrico A', de manera que O quede en el centro de AA'.


Un polígono irregular se transforma en otro m
ediante una simetría central. Cada punto A y su simétrico A’ dejan al centro de la simetría O en el punto medio y cada recta se transforma en su simétrica manteniendo el paralelismo. El segmento m se transforma en el segmento m’ y tras aplicar la simetría ambos permanecen paralelos.

Triángulo rojo simétrico del verde desde el centro O. Para calcular una figura simétrica central, se une el punto A con el centro de simetría O mediante un segmento que prolongamos. Tomamos la distancia OA como radio, haciendo centro en el punto O hacemos un arco hasta que corte a su prolongación en el punto A’. El pu
nto A’es el simétrico de A respecto al centro O. Con los demás puntos se opera de igual forma.



La figura simétrica central de otra que es la misma figura original girada 180° tomando el centro de simetría como centro de giro.








Triángulos simétricos respecto al centro O.








Trapezoide simétrico de otro respecto al centro P.










Simetría axial: 2 puntos A A' son simétricos respecto a una recta (eje de simetría) cuando al unirlos resulta una perpendicular a los mismos (en verde) y el punto medio del segmento perpendicu
lar está sobre la recta llamada eje. 2 figuras simétricas axiales (en rojo y ocre) son inversamente iguales, esto es, de sentido contrario.


En la figura observamos los dos tipos de simetrías planas que existen: a la derecha un trapezoide amarillo tiene por simétrico a otro de color rojo. Observamos que cada punto tiene su homólogo a igual distancia respecto al eje de simetría, por tanto su imagen está sobre la recta perpendicular al eje y a igual distancia del eje de simetría.
En el caso de la simetría central (en la figura de la izquierda) tenemos que cada punto del trapezoide ABCD tiene por simétrico a otro que está a igual distancia respecto al centro de simetría O. Se tiene además que cada par de puntos simétricos A A’ están alineados siempre con el centro de simetría O, por lo que se puede hacer una circunferencia cuyo centro O sea el de simetría y cada par de puntos simétricos forman parte de los polos opuestos de cada diámetro de la circunferencia que definen ambas puntos simétricos.
Observamos que podemos obtener una figura respecto de la otra por un simple giro de 180°, se puede comprobar también que el paralelismo resulta invariable, los lados de la figura tienen sus lados simétricos paralelos (por ejemplo, el lado AB que es paralelo al lado A’B’).


Ejercicio resuelto por simetría:


Se trata de calcular la distancia más corta entre los dos puntos A B pero tocando la recta e.
Un ejemplo práctico podría ser el cálculo sobre un plano de la distancia más corta entre dos puntos del desierto A B pero desviándonos hacia una recta e que representa un río en el que hay que coger agua.

Para desplazarnos desde el punto B hasta el punto A tocando a la recta e, consideramos ésta como el eje de simetría y calculamos el punto simétrico de A, que es A'. Alineamos A' con B y en el punto de intersección P hacemos una recta hasta A. la línea poligonal BPA es la distancia más corta entre dos puntos AB tocando a la recta e, ya que BA' es una línea recta, la distancia más corta entre dos puntos, y PA=PA', por lo que BA'=BA.

Otro ejemplo de simetrías lo tenemos en la reflexión de los objetos: un objeto reflejado es el simétrico del original: cálculo de reflejos.




Superficie reflectante
Existe una simetría espacial entre los elementos que se reflejan en una superficie reflectante: aparte de proyectar las sombras desde una luz puntual que provoca que las sombras de los segmentos verticales no sean paralelas, la figura refleja los elementos interiores como prismas, de esta forma tenemos que la simétrica espacial del punto C es el punto C’. Aparte de reflejar los prismas, también refleja las sombras y la luz: la sombra B que arroja el prisma más pequeño se proyecta mediante una simetría espacial teniendo como imagen el punto B’. De la misma forma la sombra proyectada que pasa por el punto D obtiene su imagen simétrica sobre la cara del prisma vertical en el punto D’. Para obtener por tanto la reflexión de todos los elementos, basta con proyectar punto por punto sobre el plano reflectante, de manera que la distancia del punto A al plano de reflexión es igual que la distancia del plano de reflexión al punto reflejado A’.
La tonalidad de las reflexiones tiene un valor más oscuro allí donde hay sombra (eso quiere decir que sobre las zonas de luz se definen menos los elementos reflejados), de la misma manera la reflexión es más intensa si se superpone a la oscuridad de la sombra propia del objeto.



Simetría espacial.
En una simetría plana los elementos obtienen su imagen sobre el mismo plano, siendo el eje la mediatriz del segmento que une cada punto y su simétrico. En la simetría espacial, cada elemento tiene su simétrico a igual distancia pero en vez de ser respecto una recta lo es respecto a un plano. Como podemos observar en el dibujo el prisma orientado en posición oblicua respecto al plano verde g se proyecta punto por punto a igual distancia por debajo del plano que por encima, de esta forma se obtiene su figura inversa por debajo del plano, que es su simétrica en el espacio. De esta forma el punto A se transforma en A’, B se transforma en B’, siendo la recta A-A’ perpendicular al plano y estando éste situado en el punto medio Ac del segmento A-A’. Como podemos observar si el plano verde continuara y fuera un espejo, su reflexión sería la figura que se ve proyectada abajo.

2 sime centrales es traslación - GeoGebra Hoja Dinámica

Dos simetrías centrales con distinto centro es una traslación: dos simetrías centrales que transforman una figura primera en otra segunda y ésta en otra tercera, la primera se puede transformar en la tercera mediante una traslación.





















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2 sime centrales igual centro es identidad - GeoGebra Hoja Dinámica

Dos simetrías centrales de igual centro producen una identidad.






















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sime axial ejes secantes giro - GeoGebra Hoja Dinámica

El producto de dos simetrías axiales con ejes secantes es un giro: si una figura es simétrica axial de otra y ésta de una tercera, la primera se puede transformar en la tercera mediante un giro.

http://teoremas-de-geometria.blogspot.com.es/2012/03/teorema-de-bravais.html




















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Ejercicios resueltos por simetrías:


Dado un cuadrilátero ABCD, determinar el punto E de su perímetro desde el que se ven los segmentos AB y CD bajo el mismo ángulo.







Reflejo en dos espejos - GeoGebra Hoja Dinámica







Construimos el punto simétrico C’1 de C respecto a la recta AD. Unimos este punto con B y en la intersección con el segmento AD tenemos E, punto desde el que se ven AB y CD bajo un mismo ángulo.


Vista de dos segmentos bajo el mismo ángulo






















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Dado un punto B y dos rectas verdes (una de ellas sobre él), determinar un punto H sobre la recta BA que equidiste de B y de la recta AD.





Distancia de un punto a otro y a recta. - GeoGebra Hoja Dinámica






Dadas dos rectas (en color verde), se trata de calcular un punto H que tenga la misma distancia respecto a una de las rectas AD que a otro punto B sobre otra de las rectas.
Construimos desde B una recta perpendicular a la otra recta verde obteniendo de esta forma BD. Por un punto cualquiera C de la recta verde AD hacemos otra perpendicular a AD hasta que corta a la otra recta en el punto E. En este punto hacemos una circunferencia cuyo radio es EC. La circunferencia corta a la recta AB en el punto F que unido al punto C determina la recta CF.
Observamos que si hacemos la mediatriz de esta recta obtenemos el centro de la circunferencia E, punto que equidista de la recta verde AD y del punto F.
De la misma forma si construimos una recta paralela a la recta FC por B tenemos la recta BG, cuya mediatriz determina el punto buscado H.
HB=HG.





Dados 2 ptos. AB y una recta f, se pide calcular la circunferencia que tenga el centro sobre esta recta y pase por AB.
Se hacen 2 circunferencias cualesquiera de igual radio y centros AB. Su intersección es la recta g que corta a la dada f en I, éste es el centro de la circunferencia buscada.






Equidistancia de un punto a otro y a una recta.

























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Dado un punto D sobre una recta morada y una circunferencia verde, determinar un punto G sobre la recta morada que equidiste de la circunferencia verde y del punto D.







Distancia de un punto a otro y a Circ. - GeoGebra Hoja Dinámica






Dada una recta (en el dibujo en color morada) y un punto D sobre esta recta, así como una circunferencia exterior (en color verde), se trata de calcular un punto G sobre la recta morada que equidiste de la circunferencia verde y del punto dado D.
Hacemos por el centro A de la circunferencia verde una recta paralela a la recta morada dada, de esta manera obtenemos en la intersección con la circunferencia el punto E, punto por el que hacemos una recta paralela a la dirección AD. Esta dirección por E corta a la recta morada en el punto F. Tomando el segmento FA y construyendo su mediatriz obtenemos en la intersección con la recta morada el punto G, que es la solución ya que equidista de la circunferencia verde y del punto D.

Equidistancia de un punto a otro y a Circunferencia

























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